도서 소개
수학을 싫어하는 손자 알렉스와 수학자 할아버지의 문답을 통해 '무한'이라는 개념을 중심으로 수학이라는 학문 체계에 대해 전체적으로 조망하는 책이다. 인간의 일상에는 무한이라는 개념이 거의 존재하지 않아 수학에서 '미적분'을 다루면 대부분의 청소년들은 이해하기 어려워 한다.
따라서 무한은 수학이라는 학문에서만 맛볼 수 있는 특별한 판타지인 셈인데, 이 책은 이러한 수학적 판타지 속을 헤집고 다니면서 어려운 개념과 원리를 쉽게 풀고자 했다. 피타고라스의 정리, 무한집합, 무리수, 제곱근, 파이, 포물선, 기하학은 물론, 더 나아가 차원, 지구, 우주 등 수학과 과학이 조우한다.
출판사 리뷰
수학적 생각 방법이 얼마나 재미있는지 알려주는 무한대 속의 수학 판타지!
주인공 알렉스는 수학자인 할아버지가 안내하는 무한대의 수학 판타지 세계에 빠져든다. 그러면서 쉽고 재미있게 수학적 사고를 자극받고, 수학의 개념과 원리를 배워나간다. 초등학교 산수 수준에서 시작하는 내용은 어느새 고등학교 수학 교과서에 나오는 수열과 포물선, 무한급수, 해석학, 기하학, 수론 등으로 이어지면서 전체 수학 교과 과정을 다양하게 사고하고 통합하도록 이끈다.
초등학교 고학년이라면 무한에 대해 깨달으면서 수학적 생각 방법을 맛볼 것이고 중고등학생이라면 수학 교과서에서 딱딱하게 접했던 내용이 얼마나 흥미로운지 재발견할 것이다.
우리를 상상력의 한계로 이끄는 무한대, 무한대로 풀어낸 거의 모든 수학 법칙
* 이 책에 나오는 주요 수학 개념과 등장인물
자연수: 할아버지와 수를 세는 알렉스. 무한한 수에도 이름이 있을까?
실제적 무한: 수학자들은 무한한 것이 정말 존재한다고 상상할 수 있다!
승수표기방식: “일, 십, 백 천 … 조.” 그 다음은?
아르키메데스: 아르키메데스는 지구 전체를 채울 수 있는 모래의 수를 계산했다.
가우스: 1부터 100까지 더하는 문제를 눈 깜짝할 사이에 해결한 수학 천재.
삼각수: 한 면이 구슬 7개로 된 정삼각형은 1부터 7까지 더한 만큼의 구슬로 되어 있다.
부분집합: 부분집합의 개수를 알아내는 공식은 무한을 적용해도 가능하다.
힐베르트의 호텔: 무한하게 방이 많은 호텔에 손님이 새로 오면 어떤 일이 벌어질까?
유한집합: 셀 수 있는 원소로 이뤄진 집합. 물감을 섞은 다양한 색은 셀 수 없다.
수직선과 분수: 수직선의 수 사이에 분수가 존재한다. 분수는 무한을 밝히는 열쇠다.
순환소수: 소수점 이하의 수가 일정하게 끊임없이 반복한다.
유리수와 무리수: 어쨌거나 분수로 표현할 수 있으면 유리수. 아니면 무리수.
수렴과 극한점: 0과 1 사이를 계속 쪼개더라도 결코 0에 도달하지는 못한다.
게오르크 칸토어: 자연수 집합보다 강력한(더 무한한) 소수의 집합을 발견한 수학자.
알레프: 무한한 수에도 다양한 종류가 있다! 히브리 알파벳 알레프를 써서 표기한다.
제논의 역설: 아킬레스와 거북이의 경주. 아킬레스는 영원히 거북이를 따라잡지 못할까.
피타고라스의 정리: 무한한 것은 수에만 존재하지 않는다. 도형에도 존재한다.
이밖에도 적분방정식, 유클리드 기하학, 투영기하학, 장 빅토르 퐁슬레 등 수학의 다양 한 개념과 인물이 등장한다.
“ 우주선을 타고 한 방향으로 계속해서 날아간다면, 그렇게 계속해서 날아가다가, 언젠가는 끝에 부딪칠 거예요. 그리고 그 뒤에는 또 무엇인가가 있을 거잖아요. 그럼 어떻게 되는 건가요?”
“이제 보니 우리 알렉스는 위대한 철학자였구나! 내 기억이 맞는다면 기원전 300년경에 벌써 그리스 철학자 에피쿠로스가 너와 비슷한 생각을 했단다. 그는 우주가 끝이 있다면, 그리고 그 뒤로는 아무것도 없다면, 그는 그 끝 너머로 창을 던질 수 있을 거라고 생각했단다.”
나는 알렉스의 얼굴에서 내가 녀석을 그리스 철학자와 비교한 것이 마음에 들었음을 알 수 있었다.
“우주에 대해서는 나중에 다시 한 번 얘기하자꾸나. 우주는 아마도 무한하게 클 거야. 그렇지만 무한하게 큰 것에는 다른 예도 있단다.”
“우주만큼 큰 게 뭐가 또 있을 수 있죠? 그런 게 있다면 있을 자리가 있나요?”
“숫자를 한번 세어보렴. 아마 너는 만, 억, 조 다음에 더 큰 수가 생각나지 않을 거야. 더 큰 수에 대해서 네가 이름을 붙일 수도 있겠지. 그렇지만 너는 절대로 숫자를 끝까지 셀 수는 없을 거야.”- p.18 중에서
작가 소개
저자 : 루돌프 키펜한
프린스턴대학교의 천체관측 작업에 참가하고 막스플랑크연구소에서 일반물리와 천체물리를 연구하였다. 괴팅겐 대학교에서 천문학과 천체물리학 교수직을 역임하였으며, 막스플랑크천제물리연구소 소장, 뮌헨대학교 명예교수로 임명되었다. 저명한 학자이며 자유기고가로서 명성을 떨치고 있으며, 1996년에는 독일물리협회에서 수여하는 자연과학 분야 언론상을 수상하였다.지은 책으로 <핵, 꿈의 연구인가 악몽의 연구인가 Atom, Forschung zwischen Faszination und Schrecken>, <은하 Die Milchstrasse>(공저), <검은 태양, 붉은 달-세기의 암흑 Schwarze Sonne, roter Mond, Die Jahrhunderfinsternis>(공저), <우주모험 Abenteuer Weltall>, <플리즈마물리학의 기초 Elementare Plasmaphysik>(공저)등이 있다.
목차
추천의 글
이 책을 읽기 전에
1. 무한하게 작고, 무한하게 큰
이상한 병
무한하게 넓은 공간과 무한하게 큰 수
무한한 것에 대한 유한한 이야기
무한한 것도 수인가?
2. 시간, 밀알, 모래에서의 큰 수
사람들이 큰 숫자의 이름을 알 필요가 없는 이유
임금님이 잘못 계산한 이유
실험을 하다
시라쿠사의 천재
3. 무한에 대한 개념을 장악하기
멀리 있는 수
가우스가 한 덧셈
하노이의 탑
집합과 그 부분들
마을 이발사와 그의 문제점
부분집합
4. 요지경 속 무한대
요지경 호텔
무용 선생님이 수를 세는 방법
자연스럽지 않은 자연수의 성질들
무한집합은 다르다
5. 분수 위의 분수
정수와 분수
분수 옆의 분수
분수를 세는 방법
6. 무한한 것보다 더 무한한 것
분수 사이의 수들
알렉스가 제곱근을 풀다
무한하게 많은 무한한 수들의 집합
더욱 이상한 요지경 속으로
무한하게 멀리 있는 점
7. 무한하게 노력해도 무한한 것에는 도달할 수 없는 이유
아킬레스와 거북이
아이스크림 먹기의 수학
함정에 빠지다
이상한 수열
8. 삼각형과 원의 세계
특별한 삼각형을 위한 정리
원의 비밀
인도로부터 온 신비한 편지
기센과 인터넷에서 발견할 수 있는 파이
9. 무한대로 가는 곡선
지도처럼
아르키메데스와 포물선
점점 더 많아지는 인구
10. 무한한 곳은 어떻게 보이나
잡초의 기하학
눈이 우리에게 보여주는 것
기하학이라고 다 같은 기하학이 아니다
지구를 지도 위로
점이 밖으로 밀려나다
속이 빈 지구
11. 차원의 세계
평면나라
선의 나라
공간나라
직선, 평평할까 아니면 휘었을까?
네 번째 차원
4차원적인 유령의 세계
12. 자연에서 무한하게 작은 것들
수직선과 철사
우리가 작은 것을 볼 수 없는 이유
그림자
보이지 않는 곳으로부터의 메시지
소리의 세계로의 소풍
13. 무한하게 큰 우주
원판 모양의 은하수
무한하게 많은 우주의 섬들
빛은 공간과 역사를 관통한다
많은 나무들 때문에 숲을 볼 수 없을 때
우주는 멀어져간다
과거를 들여다보다
무한한 우주가 어두운 이유
느낌 속의 무한한 것
